【题目】
Givenn, how many structurally uniqueBST's(binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Givenn= 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
【分析】
如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。
比如,以 1 为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是 0 个元素的树,右子树是 2 个元素的树。
以 2 为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是 1个元素的树,右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1; 2; 3; .....; n 时,基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性:以 i 为根节点的树,其左子树由 [1, i-1] 构成,其右子树由 [i+1, n] 构成。
定义 f (i) 为以 [1; i] 能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目,则
如果数组为空,毫无疑问,只有一种 BST,即空树,f (0) = 1。
如果数组仅有一个元素 1,只有一种 BST,单个节点,f (1) = 1。
如果数组有两个元素 1,2,那么有如下两种可能
f (2) = f (0) * f (1) ,1 为根的情况
+ f (1) * f (0) , 2 为根的情况
再看一看 3 个元素的数组,可以发现 BST 的取值方式如下:
f (3) = f (0) * f (2) ,1 为根的情况
+ f (1) * f (1) ,2 为根的情况
+ f (2) * f (0) ,3 为根的情况
所以,由此观察,可以得出 f 的递推公式为
至此,问题划归为一维动态规划。
【代码】
/*********************************
* 日期:2014-12-26
* 作者:SJF0115
* 题目: 96.Unique Binary Search Trees
* 来源:https://oj.leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/
* 结果:AC
* 来源:LeetCode
* 总结:
**********************************/
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> f(n+1,0);
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++){
for(int j = 1;j <= i;j++){
f[i] += f[j-1] * f[i-j];
}//for
}//for
return f[n];
}
};
int main() {
Solution solution;
cout<<solution.numTrees(3)<<endl;
}
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