[算法]素数筛法

【方法一】

【代码一】

//判断是否是一个素数
intIsPrime(inta){
//0,1，负数都是非素数
if(a<=1){
return0;
}
//计算枚举上界，为防止double值带来的精度损失，所以采用根号值取整后再加1，即宁愿多枚举一个，也不愿少枚举一个数
intbound=(int)sqrt(a)+1;
for(inti=2;i<bound;i++){
//依次枚举这些数能否整除x，若能则必不是素数
if(a%i==0){
return0;
}
}
return1;
}

【方法二】

【代码二】

#defineMAXSIZE10001

intMark[MAXSIZE];
intprime[MAXSIZE];

//判断是否是一个素数Mark标记数组index素数个数
intPrime(){
intindex=0;
memset(Mark,0,sizeof(Mark));
for(inti=0;i<MAXSIZE;i++){
//已被标记
if(Mark[i]==1){
continue;
}
else{
//否则得到一个素数
prime[index++]=i;
//标记该素数的倍数为非素数
for(intj=i*i;j<MAXSIZE;j+=i){
Mark[j]=1;
}
}
}
returnindex;
}

【方法三】

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数

把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

【代码三】

intMark[MAXSIZE];
intprime[MAXSIZE];

//判断是否是一个素数Mark标记数组index素数个数
intPrime(){
intindex=0;
memset(Mark,0,sizeof(Mark));
for(inti=2;i<MAXSIZE;i++)
{
//如果未标记则得到一个素数
if(Mark[i]==0){
prime[index++]=i;
}
//标记目前得到的素数的i倍为非素数
for(intj=0;j<index&&prime[j]*i<MAXSIZE;j++)
{
Mark[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
break;
}
}
}
returnindex;
}

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。

在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。

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