[经典面试题]完美洗牌算法

SunnyYoona

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题目

有个长度为2n的数组{a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn}，希望排序后{a1,b1,a2,b2,….,an,bn}，请考虑有无时间复杂度o(n)，空间复杂度0(1)的解法。

来源

2013年UC的校招笔试题

思路一

第①步、确定b1的位置，即让b1跟它前面的a2，a3，a4交换：

a1，b1，a2，a3，a4，b2，b3，b4

第②步、接着确定b2的位置，即让b2跟它前面的a3，a4交换：

a1，b1，a2，b2，a3，a4，b3，b4

第③步、b3跟它前面的a4交换位置：

a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4

b4已在最后的位置，不需要再交换。如此，经过上述3个步骤后，得到我们最后想要的序列。但此方法的时间复杂度为O（n^2）

代码一

/*---------------------------------------------
*   日期：2015-02-13
*   作者：SJF0115
*   题目: 完美洗牌算法
*   来源：2013年UC的校招笔试题
*   博客：
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;

class Solution {
public:
    void PerfectShuffle(int *A,int n){
        if(n <= 1){
            return;
        }//if
        //
        int size = 2*n;
        int index,count;
        for(int i = n;i < size;++i){
            // 交换个数
            count = n - (i - n) - 1;
            // 待交换
            index = i;
            for(int j = 1;j <= count;++j){
                swap(A[index],A[i-j]);
                index = i - j;
            }//for
        }//for
    }
};


int main() {
    Solution solution;
    int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8};
    solution.PerfectShuffle(A,4);
    for(int i = 0;i < 8;++i){
        cout<<A[i]<<" ";
    }//for
    cout<<endl;
}

思路二

我们每次让序列中最中间的元素进行两两交换。还是上面的例子：

a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4

第①步：交换最中间的两个元素a4，b1：

a1，a2，a3，b1，a4，b2，b3，b4

第②步：最中间的两对元素各自交换：

a1，a2，b1，a3，b2，a4，b3，b4

第③步：交换最中间的三对元素：

a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4

此思路同上述思路一样，时间复杂度依然为O（n^2）。仍然但不到题目要求。

代码二

/*---------------------------------------------
*   日期：2015-02-13
*   作者：SJF0115
*   题目: 完美洗牌算法
*   来源：2013年UC的校招笔试题
*   博客：
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;

class Solution {
public:
    void PerfectShuffle(int *A,int n){
        if(n <= 1){
            return;
        }//if
        //
        int left = n - 1,right = n;
        // 交换次数
        for(int i = 0;i < n-1;++i){
            for(int j = left;j < right;j+=2){
                swap(A[j],A[j+1]);
            }//for
            --left;
            ++right;
        }//for
    }
};


int main() {
    Solution solution;
    int A[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
    solution.PerfectShuffle(A,5);
    for(int i = 0;i < 10;++i){
        cout<<A[i]<<" ";
    }//for
    cout<<endl;
}

思路三（完美洗牌算法）

玩过扑克牌的朋友都知道，在一局完了之后洗牌，洗牌人会习惯性的把整副牌大致分为两半，两手各拿一半对着对着交叉洗牌。

2004年，microsoft的Peiyush Jain在他发表一篇名为：“A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle”的论文中提出了完美洗牌算法。

什么是完美洗牌问题呢？即给定一个数组a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3..bn,最终把它置换成b1,a1,b2,a2,…bn,an。这个完美洗牌问题本质上与本题完全一致，只要在完美洗牌问题的基础上对它最后的序列swap两两相邻元素即可。

（1）对原始位置的变化做如下分析：
这里写图片描述

（2）依次考察每个位置的变化规律：
a1：1 -> 2
a2：2 -> 4
a3：3 -> 6
a4：4 -> 8
b1：5 -> 1
b2：6 -> 3
b3：7 -> 5
b4：8 -> 7

对于原数组位置i的元素，新位置是(2*i)%(2n+1)，注意，这里用2n表示原数组的长度。后面依然使用该表述方式。有了该表达式，困难的不是寻找元素在新数组中的位置，而是为该元素“腾位置”。如果使用暂存的办法，空间复杂度必然要达到O(N)，因此，需要换个思路。

（3）我们这么思考：a1从位置1移动到位置2，那么，位置2上的元素a2变化到了哪里呢？继续这个线索，我们得到一个“封闭”的环：

1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 7 -> 5 -> 1

沿着这个环，可以把a1、a2、a4、b4、b3、b1这6个元素依次移动到最终位置；显然，因为每次只移动一个元素，代码实现时，只使用1个临时空间即可完成。(即：a=t;t=b;b=a)
此外，该变化的另外一个环是：

3 -> 6 -> 3

沿着这个环，可以把a3、b2这2个元素依次移动到最终位置。

    // 走圈算法
    void CycleLeader(int *a,int start, int n) {
        int pre = a[start];
        // 2 * i % (2 * n + 1)
        int mod = 2 * n + 1;
        // 实际位置
        int next = start * 2 % mod;
        // 按环移动位置
        while(next != start){
            swap(pre,a[next]);
            next = 2 * next % mod;
        }//while
        a[start] = pre;
    }

（4）上述过程可以通过若干的“环”的方式完整元素的移动，这是巧合吗？事实上，该问题的研究成果已经由Peiyush Jain在10年前公开发表在A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle, Microsoft, 2004中。原始论文直接使用了一个结论，这里不再证明：对于2*n =（3^k-1）这种长度的数组，恰好只有k个环，且每个环的起始位置分别是1,3,9，…3^(k-1)。
对于上面的例子，长度为8，是3^2-1，因此，只有2个环。环的起始位置分别是1和3。

（5）至此，完美洗牌算法的“主体工程”已经完工，只存在一个“小”问题：如果数组长度不是（3^k-1）呢？

若2n!=（3^k-1），则总可以找到最大的整数m，使得m< n，并且2m=（3^k-1）。

对于长度为2m的数组，调用（3）和（4）中的方法整理元素，剩余的2（n-m）长度，递归调用（5）即可。

（6）需要交换一部分数组元素

这里写图片描述

（下面使用[a,b]表示从a到b的一段子数组，包括端点）
①图中斜线阴影部分的子数组[1，m]应该和[n + 1,n + m]组成一个数组，调用（3）和（4）中的算法；
②数组[m+1,m+n]循环左移n-m次即可。（循环位移是存在空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)的算法）

（7）原始问题要输出a1,b1,a2,b2……an,bn，而完美洗牌却输出的是b1,a1,b2,a2,……bn,an。解决办法非常简单：忽略原数组中的a1和bn，对于a2,a3,……an,b1,b2,……bn-1调用完美洗牌算法，即为结论。

举个例子： n = 6
a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6

这里写图片描述

循环左移

介绍一下时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O（1）的循环移位操作。
思路：
假设循环左移m位。把数组分成两段，第一段为前m个元素，第二段为剩余元素。把第一段和第二段先各自翻转一下，再将整体翻转下。

    // 翻转 start 开始位置 end 结束位置
    void Reverse(int *a,int start,int end){
        while(start < end){
            swap(a[start],a[end]);
            ++start;
            --end;
        }//while
    }
    // 循环左移m位 n数组长度 下标从1开始
    void LeftRotate(int *a,int m,int n){
        // 翻转前m位
        Reverse(a,1,m);
        // 翻转剩余元素
        Reverse(a,m+1,n);
        // 整体翻转
        Reverse(a,1,n);
    }

代码：

/*---------------------------------------------
*   日期：2015-02-13
*   作者：SJF0115
*   题目: 完美洗牌算法
*   来源：2013年UC的校招笔试题
*   博客：
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;

class Solution {
public:
    // 完美洗牌算法
    void PerfectShuffle(int *a,int n){
        while(n >= 1){
            // 计算环的个数
            int k = 0;
            // 3^1
            int r = 3;
            // 2 * m  = 3^k - 1
            // m <= n  ->  2 * m <= 2 * n  -> 3^k - 1 <= 2 * n
            // 寻找最大的k使得3^k - 1 <= 2*n
            while(r - 1 <= 2*n){
                r *= 3;
                ++k;
            }//while
            int m = (r / 3 - 1) / 2;
            // 循环左移n-m位
            LeftRotate(a+m,n-m,n);
            // k个环 环起始位置start: 1,3...3^(k-1)
            for(int i = 0,start = 1;i < k;++i,start *= 3) {
                // 走圈
                CycleLeader(a,start,m);
            }//for
            a += 2*m;
            n -= m;
        }
    }
private:
    // 翻转 start 开始位置 end 结束位置
    void Reverse(int *a,int start,int end){
        while(start < end){
            swap(a[start],a[end]);
            ++start;
            --end;
        }//while
    }
    // 循环右移m位 n数组长度 下标从1开始
    void LeftRotate(int *a,int m,int n){
        // 翻转前m位
        Reverse(a,1,m);
        // 翻转剩余元素
        Reverse(a,m+1,n);
        // 整体翻转
        Reverse(a,1,n);
    }
    // 走圈算法
    void CycleLeader(int *a,int start, int n) {
        int pre = a[start];
        // 2 * i % (2 * n + 1)
        int mod = 2 * n + 1;
        // 实际位置
        int next = start * 2 % mod;
        // 按环移动位置
        while(next != start){
            swap(pre,a[next]);
            next = 2 * next % mod;
        }//while
        a[start] = pre;
    }
};


int main() {
    Solution solution;
    int A[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};
    solution.PerfectShuffle(A,6);
    for(int i = 1;i <= 12;++i){
        cout<<A[i]<<" ";
    }//for
    cout<<endl;
}