[算法系列之七]Manacher算法之最大回文子串

回文串定义：“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。
回文子串，顾名思义，即字符串中满足回文性质的子串。

经常有一些题目围绕回文子串进行讨论，比如 HDOJ_3068_最长回文，求最长回文子串的长度。朴素算法是依次以每一个字符为中心向两侧进行扩展，

显然这个复杂度是 O(N^2)的，关于字符串的题目常用的算法有 KMP、后缀数组、 AC 自动机，这道题目利用扩展 KMP可以解答，其时间复杂度也很快 O(N*logN)。

但是，今天笔者介绍一个专门针对回文子串的算法，其时间复杂度为 O(n)，这就是 manacher 算法。

大家都知道，求回文串时需要判断其奇偶性，也就是求 aba 和 abba 的算法略有差距。然而，这个算法做了一个简单的处理，很巧妙地把奇数长度回文串与偶数长度回文串统一考
虑，也就是在每个相邻的字符之间插入一个分隔符，串的首尾也要加，当然这个分隔符不能再原串中出现，一般可以用‘#’或者‘$’等字符。例如：
原串：abaab
新串：#a#b#a#a#b#
这样一来，原来的奇数长度回文串还是奇数长度，偶数长度的也变成以‘#’为中心的奇数回文串了。
接下来就是算法的中心思想，用一个辅助数组 P 记录以每个字符为中心的最长回文半
径，也就是 P[i]记录以 Str[i]字符为中心的最长回文串半径。 P[i]最小为 1，此时回文串为 Str[i]本身。
我们可以对上述例子写出其 P 数组，如下
新串： # a # b # a # a # b #
P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1
我们可以证明 P[i]-1 就是以 Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。
证明：
1、显然 L=2*P[i]-1 即为新串中以 Str[i]为中心最长回文串长度。
2、以 Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以 L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度的二倍，即原串长度为(L-1)/2，化简
的 P[i]-1。得证。

依次从前往后求得 P 数组就可以了，这里用到了 DP(动态规划)的思想，也就是求 P[i]的时候，前面的 P[]值已经得到了，我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。

核心代码：

// MaxId为i字符之前最大回文串向右延伸的最大位置
    // id为MaxId对应的最大回文串的中心位置
    for(int i = 1;i < len;i++){
        //初步定i位置字符为中心的半径
        if(MaxId > i){
            p[i] = min(MaxId - i,p[2*id - i]);
        }
        else{
            p[i] = 1;
        }
        //继续确定i位置字符为中心的半径 这地方用到'$'
        while(str[i-p[i]] == str[i+p[i]]){
            p[i]++;
        }
        //更新MaxId,id
        if(p[i]+i > MaxId){
            MaxId = p[i] + i;
            id = i;
        }
    }

为了防止求 P[i]向两边扩展时可能数组越界，我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符，令 P[0]= ‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外，我们用 MaxId 变量
记录在求 i 之前的回文串中延伸至最右端的位置，同时用 id 记录取这个 MaxId 对应回文串的中心位置。
通过下面这句话，算法避免了很多没必要的重复匹配。

if(MaxId>i)
{
p[i]=min(p[2*id-i],MaxId-i);
}

那么这句话是怎么得来的呢，其实就是利用了回文串的对称性，如下图，

j=2*id-i 即为 i 关于 id 的对称点，根据对称性，P[ j]的回文串也是可以对称到 i 这边的,但是如果 P[ j]的回文串对称过来以后超过 MaxId 的话，超出部分就不能对称过来了，如下
图，所以这里 P[i]为的下限为两者中的较小者，p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i) 。

算法的有效比较次数为 MaxId 次，所以说这个算法的时间复杂度为 O(n)。

这是我具体实现的代码：

#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//数据预处理
char* Init(char* s){
    int len = strlen(s);
    char* str = new char(2*len+4);
    str[0] = '$';
    int index = 1;
    for(int i = 0;i < len;i++){
        str[index++] = '#';
        str[index++] = s[i];
    }
    str[index++] = '#';
    str[index] = '\0';
    return str;
}

string MaxPalindromeNumber(char* s){
    char *str = Init(s);
    int maxId = 0,center = 1;
    int len = strlen(str);
    int *p = new int[len+1];

    // MaxId为i字符之前最大回文串向右延伸的最大位置
    // id为MaxId对应的最大回文串的中心位置
    for(int i = 1;i < len;i++){
        //初步定i位置字符为中心的半径
        if(maxId > i){
            p[i] = min(maxId - i,p[2*center - i]);
        }
        else{
            p[i] = 1;
        }
        //继续确定i位置字符为中心的半径 这地方用到'$'
        while(str[i-p[i]] == str[i+p[i]]){
            p[i]++;
        }
        //更新MaxId,id
        if(p[i]+i > maxId){
            maxId = p[i] + i;
            center = i;
        }
    }
    // 最大长度
    int maxLen = 0;
    center = 1;
    for(int i = 1;i < len;i++){
        if(str[i] != '#' && p[i] - 1 > maxLen){
            maxLen = p[i] - 1;
            center = i;
        }
    }
    //提取最大回文串
    char* maxStr = new char[maxLen+1];
    int index = 0;
    for(int i = center - maxLen;i <= center + maxLen;i++){
        if(str[i] != '#'){
            maxStr[index++] = str[i];
        }
    }
    maxStr[index] = '\0';
    return maxStr;
}

int main(){
	char* str="skjflkdsjfkldsababasdlkfjsdwieowowwpw";
	cout<<MaxPalindromeNumber(str);
	return 0;
}