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SunnyYoona
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[算法系列之三十三]杨氏矩阵

 
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即对于矩阵Table有Table[i][j] ≤Table[i][j + 1], Table[i][j] ≤ Table[i + 1][j],我们也称这样的矩阵为杨氏矩阵。

给出判定某个数是否存在该矩阵中的高效算法。

分析:

为了便于复杂度分析,我们暂时假定该矩阵为大小n*n。如下图所示为一个杨氏矩阵。



二分搜索解法:

许多人都观察到了矩阵在二维上都是有序的,所以使用在每一行(或者每一列)使用二分搜索是很自然的想法。由于每一行二分搜索需要O(lgn)时间,搜索n行需要O(nlogn)的时间。显然这个时间复杂度还是不够高效。当然这只是第一步尝试,不要让自己过早的陷入到二分搜索的泥潭中,好的方法还在后面。

一种错误的想法:

如果不细心也许会掉入一个陷阱中。有人也许认为可以先从行来判定,如果某个数位于某2行间,则只需要检查相应的2列即可,这是错误的。如下左边图所示,假定我们需要查找9是否在矩阵中,由于9位于7到11之间,所以接下来在7和11的这两列中(这2列在图中高亮显示)二分查找9,虽然能够查找到9,虽然查找9成功了,但是这个方法是错误的。因为10也位于7到11之间,但是10并不在这2列中。

即便是如下右边图示查询范围包括2行2列,尽管在查找9和10都成功,但是还是错误的,反例大家可以自己找一个。

Step-wise线性搜索解法:

从右上角开始,每次将搜索值与右上角的值比较,如果大于右上角的值,则直接去除1行,否则,则去掉1列。如下图显示了查找13的轨迹。首先与右上角15比较,13<15,所以去掉最右1列,然后与11比较,这是13>11,去掉最上面1行…以此类推,最后找到13。算法复杂度O(n),最坏情况需要2n步,即从右上角开始查找,而要查找的目标值在左下角的时候。


【代码】

  1. boolstepWise(intmat[][N_MAX],intN,inttarget,
  2. int&row,int&col){
  3. if(target<mat[0][0]||target>mat[N-1][N-1])returnfalse;
  4. row=0;
  5. col=N-1;
  6. while(row<=N-1&&col>=0){
  7. if(mat[row][col]<target)
  8. row++;
  9. elseif(mat[row][col]>target)
  10. col--;
  11. else
  12. returntrue;
  13. }
  14. returnfalse;
  15. }


四分分解算法:

通过观察很容易发现该题可以使用分治法来解决。可以看到,矩阵的中间元素总是将矩阵分成了4个子矩阵。如下图所示,中间元素9将矩阵分成了4个小矩阵,这4个小矩阵在行和列上面都是排好序的,所以原问题可以分解为4个子问题。进一步观察可以发现,每次可以排除掉1个子矩阵,也就是说只要考虑3个子问题即可。如查找目标元素为13,则13>9,因为左上角的子矩阵都小于9,所以左上角的子矩阵可以不用再查询,只需要查询剩下的3个子矩阵即可。同理,当查找元素为6时,由于6<9,因为右下角的子矩阵都大于9,因此可以直接排除右下角的子矩阵,只需要查询其他3个子矩阵即可。当然,如果中间元素等于查询的目标元素,则直接返回即可,否则在剩下的3个子矩阵中查询。


该算法代码如下,注意边界条件,代码中加粗的部分不可省略,否则会导致代码不可终止。l==r&&u==d表示矩阵中只有一个元素,此时若不等于目标元素target,则必须返回false。

  1. boolquadPart(intmat[][N_MAX],intM,intN,inttarget,intl,intu,intr,intd,int&targetRow,int&targetCol){
  2. if(l>r||u>d)returnfalse;
  3. if(target<mat[u][l]||target>mat[d][r])returnfalse;
  4. intcol=l+(r-l)/2;
  5. introw=u+(d-u)/2;
  6. if(mat[row][col]==target){
  7. targetRow=row;
  8. targetCol=col;
  9. returntrue;
  10. }elseif(l==r&&u==d){
  11. returnfalse;
  12. }
  13. if(mat[row][col]>target){
  14. returnquadPart(mat,M,N,target,col+1,u,r,row,targetRow,targetCol)||
  15. quadPart(mat,M,N,target,l,row+1,col,d,targetRow,targetCol)||
  16. quadPart(mat,M,N,target,l,u,col,row,targetRow,targetCol);
  17. }else{
  18. returnquadPart(mat,M,N,target,col+1,u,r,row,targetRow,targetCol)||
  19. quadPart(mat,M,N,target,l,row+1,col,d,targetRow,targetCol)||
  20. quadPart(mat,M,N,target,col+1,row+1,r,d,targetRow,targetCol);
  21. }
  22. }
  23. boolquadPart(intmat[][N_MAX],intN,inttarget,int&row,int&col){
  24. returnquadPart(mat,N,N,target,0,0,N-1,N-1,row,col);
  25. }


该算法复杂度是多少呢?可以通过公式计算:

原文公式:T(n) = 3T(n/2) + c, 
T(n) = 3T(n/2) + c, = 3 [ 3T(n/4) + c ] + c = 3 [ 3 [ 3T(n/8) + c ] + c ] + c = 3k T(n/2k) + c (3k - 1)/2 = 3k ( T(n/2k) + c ) - c/2Setting k = lg n, T(n) = 3lg n ( T(1) + c ) - c/2 = O(3lg n) = O(nlg 3) <== 3lg n = nlg 3 = O(n1.58)
注:我以为这里公式应该是T(n) = 3 * T(n/4) + c ,不对的话请大家指正。



二分算法

这个算法我们从矩阵中间行或者中间列或者对角线开始查找,找到s满足

ai < s < ai+1 , 其中ai为矩阵中的值。


a)从中间行查找,如查找10位于9到16之间。


b)从中间列查找,如查找10位于9到14之间。


c)从对角线查找,查找10位于9到17之间。

显然不管从哪里查找,都可以将原矩阵分成2个子矩阵,这样就分成了2个子问题,比起四分分解法的3个子问题,这个方法应该更好。

代码如下,注意这里代码确定范围用的是线性查找,实际可以通过二分查找加速整个过程。

  1. boolbinPart(intmat[][N_MAX],intM,intN,inttarget,intl,intu,intr,intd,int&targetRow,int&targetCol){
  2. if(l>r||u>d)returnfalse;
  3. if(target<mat[u][l]||target>mat[d][r])returnfalse;
  4. intmid=l+(r-l)/2;
  5. introw=u;
  6. while(row<=d&&mat[row][mid]<=target){
  7. if(mat[row][mid]==target){
  8. targetRow=row;
  9. targetCol=mid;
  10. returntrue;
  11. }
  12. row++;
  13. }
  14. returnbinPart(mat,M,N,target,mid+1,u,r,row-1,targetRow,targetCol)||
  15. binPart(mat,M,N,target,l,row,mid-1,d,targetRow,targetCol);
  16. }
  17. boolbinPart(intmat[][N_MAX],intN,inttarget,int&row,int&col){
  18. returnbinPart(mat,N,N,target,0,0,N-1,N-1,row,col);
  19. }

该方法复杂度的分析:为了方便,假定最后查找的子矩阵为分成了2个相同大小的子矩阵,且都为原来1/4大小。

T(n)=2T(n/4)+cn

如果采用二分查找确定范围,则T(n)=2T(n/4)+clgn

英文原文地址:http://www.leetcode.com/2010/10/searching-2d-sorted-matrix-part-ii.html


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